素数筛法与埃氏筛法的实现

1. 简单介绍

素数筛法是一种高效的算法，用于找出一定范围内的素数。它通过事先标记非素数的数字，进而快速筛选出所有的素数。这种方法在数论和密码学领域应用广泛。

2. MaxFactor埃氏筛法

MaxFactor埃氏筛法是一种经典的素数筛法实现，主要思想如下：

bool is_pri[N+5];
void prime() {
    for (int i = 0; i <= N; i++) {
        is_pri[i] = true;
    }
    is_pri[0] = false;
    is_pri[1] = true;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        if (is_pri[i]) {
            for (int j = 2 * i; j <= N; j += i) {
                is_pri[j] = false;
            }
        }
    }
}

工作原理

初始化一个布尔数组is_pri，默认所有元素为真，表示未知是否为素数。

设定is_pri[0]为假，is_pri[1]为真（虽然1不是素数）。

从2开始遍历每个数字i：

如果i是素数（即is_pri[i]为真），则标记所有i的倍数为非素数。

最终，数组中为真的位置即为素数。

3. MaxFactor线式筛法

MaxFactor线式筛法是一种更高效的素数筛法，通过线性筛法优化了空间复杂度：

int pri[N+10];
void prime() {
    memset(pri, 0, sizeof(pri));
    pri[1] = 0; // 0表示素数
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        if (!pri[i]) {
            for (int j = i * i; j <= N; j += i) {
                pri[j] = 1;
            }
        }
    }
}

工作原理

初始化一个整数数组pri，初始值均为0。

设定pri[1]为0，表示1不是素数。

从2开始遍历每个数字i：

如果pri[i]为0，说明i是素数。

然后标记所有i的平方及i的倍数（从i²开始）为1，表示这些数为合数。

最终，数组中为0的位置即为素数。

4. 普通求法

普通方法通过逐个检查每个数的因数来判断是否为素数：

int m, pri[max];
void prime(int n) {
    int i, j;
    memset(pri, 0, sizeof(pri));
    for (i = 2; i <= n; i++) {
        for (j = 2; j <= sqrt(i); j++) {
            if (i % j == 0) {
                break;
            }
        }
        if (j > sqrt(i)) {
            pri[m++] = i;
        }
    }
}